微分積分学準備例

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

ステップ 1.2

$x$ を $x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

ステップ 1.2.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

ステップ 1.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 3$ で因数分解します。

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

ステップ 3

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

ステップ 4

$4 (x + 5)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

ステップ 4.2

$4$ に $5$ をかけます。

$x (x + 3) = 4 x + 20$

ステップ 5

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$x (x + 3) - 4 x = 20$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

ステップ 5.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

ステップ 5.2.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

ステップ 5.3

$3 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} - x = 20$

ステップ 6

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - x = 20$

ステップ 6.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

ステップ 6.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$x (x - 1) = 20$

ステップ 7

$x (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 7.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

ステップ 7.1.2

式を簡約します。

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ステップ 7.1.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

ステップ 7.1.2.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

ステップ 7.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x = 20$

ステップ 8

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 9

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 11

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 12

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 13

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

微分積分学準備 例

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