微分積分学準備例

$\log_{8} (x) + \log_{8} (x - 3) = \frac{2}{3}$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{8} (x (x - 3)) = \frac{2}{3}$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot - 3) = \frac{2}{3}$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{8} (x^{2} + x \cdot - 3) = \frac{2}{3}$

ステップ 1.3.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{8} (x^{2} - 3 x) = \frac{2}{3}$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{8} (x^{2} - 3 x) = \frac{2}{3}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$8^{\frac{2}{3}} = x^{2} - 3 x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} - 3 x = 8^{\frac{2}{3}}$ として書き換えます。

$x^{2} - 3 x = 8^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.2

$8^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{2} - 3 x = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - 3 x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 3 x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 3 x = 2^{2}$

ステップ 3.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - 3 x = 4$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

ステップ 3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 3.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.8

最終解は $(x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1$

ステップ 4

$\log_{8} (x) + \log_{8} (x - 3) = \frac{2}{3}$ が真にならない解を除外します。

$x = 4$

微分積分学準備 例

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