微分積分学準備例

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 6) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

ステップ 1.3.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

ステップ 1.3.1.3

$6$ に $3$ をかけます。

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

ステップ 1.3.2

$3 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ として書き換えます。

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

ステップ 3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

ステップ 3.3

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $81$ を引きます。

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

ステップ 3.3.2

$18$ から $81$ を引きます。

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 1$ 、 $b = 9$ 、および $c = - 63$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 4$ に $- 63$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

$81$ と $252$ をたし算します。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$333$ を $3^{2} \cdot 37$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1.4.1

$9$ を $333$ で因数分解します。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

ステップ 4

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

10進法形式：

$x = 4.62414379 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例