微分積分学準備例

$\log_{x} (729) = 3$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{x} (729) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{3} = 729$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $729$ を引きます。

$x^{3} - 729 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$729$ を $9^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 9^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 9$ です。

$(x - 9) (x^{2} + x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 9^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 9 = 0$

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

ステップ 2.4

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 2.5

$x^{2} + 9 x + 81$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} + 9 x + 81$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 9 x + 81 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 9$ 、および $c = 81$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 81)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 81$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $81$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$81$ から $324$ を引きます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 243$ を $- 1 (243)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (243)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$243$ を $9^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.7.1

$81$ を $243$ で因数分解します。

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$9$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

微分積分学準備 例

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