微分積分学準備例

$\sqrt{2} \cos (2 x) + 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$

ステップ 2

$\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$ の各項を $\sqrt{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$ の各項を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2} \cos (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \cos (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (2 x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (2 x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 2.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.3.3.6.5

指数を求めます。

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$2 x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5

$2 x = \frac{3 π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = \frac{3 π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2

$\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{3 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 6

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 7.1.2

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 7.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 7.1.5

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$2 x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 7.2

$2 x = \frac{5 π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2 x = \frac{5 π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.2.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.2.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{8}$

ステップ 8

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 9

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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