微分積分学準備例

$e^{x} - 9 + 20 e^{- x} = 0$

ステップ 1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} - 9 + 20 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u - 9 + 20 u^{- 1} = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u - 9 + 20 (\frac{1}{u}) = 0$

ステップ 3.2

$20$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 1, u, 1$

ステップ 4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.2

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

ステップ 4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} - 9 u + 20 = 0 u$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ に $u$ をかけます。

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 9 u + 20$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $- 9$ です。

$- 5, - 4$

ステップ 4.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 5) (u - 4) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 5 = 0$

$u - 4 = 0$

ステップ 4.3.3

$u - 5$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.3.1

$u - 5$ が $0$ に等しいとします。

$u - 5 = 0$

ステップ 4.3.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$u = 5$

ステップ 4.3.4

$u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 4.3.5

最終解は $(u - 5) (u - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 5, 4$

ステップ 5

$5$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$5 = e^{x}$

ステップ 6

$5 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $e^{x} = 5$ として書き換えます。

$e^{x} = 5$

ステップ 6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

ステップ 6.3

左辺を展開します。

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ステップ 6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (5)$

ステップ 6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (5)$

ステップ 6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (5)$

ステップ 7

$4$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$4 = e^{x}$

ステップ 8

$4 = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $e^{x} = 4$ として書き換えます。

$e^{x} = 4$

ステップ 8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

ステップ 8.3

左辺を展開します。

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ステップ 8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (4)$

ステップ 8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (4)$

ステップ 8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (4)$

ステップ 9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (5), \ln (4)$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (5), \ln (4)$

10進法形式：

$x = 1.60943791 \dots, 1.38629436 \dots$

微分積分学準備 例

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