微分積分学準備例

$6^{2 x} + 6^{x} - 30 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$6^{2 x}$ を ${(6^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(6^{x})}^{2} + 6^{x} - 30 = 0$

ステップ 1.2

$u = 6^{x}$ とします。 $u$ を $6^{x}$ に代入します。

$u^{2} + u - 30 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 30$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 30$ で、その和が $1$ です。

$- 5, 6$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 5) (u + 6) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $6^{x}$ で置き換えます。

$(6^{x} - 5) (6^{x} + 6) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$6^{x} - 5 = 0$

$6^{x} + 6 = 0$

ステップ 3

$6^{x} - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$6^{x} - 5$ が $0$ に等しいとします。

$6^{x} - 5 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $6^{x} - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$6^{x} = 5$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (6^{x}) = \ln (5)$

ステップ 3.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (6^{x})$ を展開します。

$x \ln (6) = \ln (5)$

ステップ 3.2.4

$x \ln (6) = \ln (5)$ の各項を $\ln (6)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$x \ln (6) = \ln (5)$ の各項を $\ln (6)$ で割ります。

$\frac{x \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (5)}{\ln (6)}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$\ln (6)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (5)}{\ln (6)}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (6)}$

ステップ 4

$6^{x} + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$6^{x} + 6$ が $0$ に等しいとします。

$6^{x} + 6 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $6^{x} + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$6^{x} = - 6$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (6^{x}) = \ln (- 6)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 6)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$6^{x} = - 6$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(6^{x} - 5) (6^{x} + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (6)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (6)}$

10進法形式：

$x = 0.89824440 \dots$

微分積分学準備 例

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