微分積分学準備例

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

ステップ 1

$5^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

ステップ 2

$u$ を $5^{x}$ に代入します。

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

ステップ 3.2

$125$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$u + \frac{125}{u} = 30$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.2

$u + \frac{125}{u} = 30$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$u + \frac{125}{u} = 30$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

ステップ 4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

ステップ 4.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 125 = 30 u$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $30 u$ を引きます。

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

ステップ 4.3.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 125 - 30 u$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $125$ で、その和が $- 30$ です。

$- 25, - 5$

ステップ 4.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 25) (u - 5) = 0$

ステップ 4.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

ステップ 4.3.4

$u - 25$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$u - 25$ が $0$ に等しいとします。

$u - 25 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺に $25$ を足します。

$u = 25$

ステップ 4.3.5

$u - 5$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.5.1

$u - 5$ が $0$ に等しいとします。

$u - 5 = 0$

ステップ 4.3.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$u = 5$

ステップ 4.3.6

最終解は $(u - 25) (u - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 25, 5$

ステップ 5

$25$ を $u = 5^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$25 = 5^{x}$

ステップ 6

$25 = 5^{x}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $5^{x} = 25$ として書き換えます。

$5^{x} = 25$

ステップ 6.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$5^{x} = 5^{2}$

ステップ 6.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 2$

ステップ 7

$5$ を $u = 5^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$5 = 5^{x}$

ステップ 8

$5 = 5^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $5^{x} = 5$ として書き換えます。

$5^{x} = 5$

ステップ 8.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$5^{x} = 5^{1}$

ステップ 8.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

ステップ 9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = 2, 1$

微分積分学準備 例

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