微分積分学準備例

$5^{x + 2} = 7^{x - 2}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln (5^{x + 2}) = \ln (7^{x - 2})$

ステップ 2

$x + 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x + 2})$ を展開します。

$(x + 2) \ln (5) = \ln (7^{x - 2})$

ステップ 3

$x - 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{x - 2})$ を展開します。

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$(x + 2) \ln (5)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

ステップ 4.1.2

0を加えて簡約します。

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = x \ln (7) - 2 \ln (7)$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $x \ln (7)$ を引きます。

$x \ln (5) + 2 \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7)$

ステップ 4.4

方程式の両辺から $2 \ln (5)$ を引きます。

$x \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

ステップ 4.5

$x$ を $x \ln (5) - x \ln (7)$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$x$ を $x \ln (5)$ で因数分解します。

$x (\ln (5)) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

ステップ 4.5.2

$x$ を $- x \ln (7)$ で因数分解します。

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

ステップ 4.5.3

$x$ を $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ で因数分解します。

$x (\ln (5) - 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

ステップ 4.6

$- 1 \ln (7)$ を $- \ln (7)$ に書き換えます。

$x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

ステップ 4.7

$x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ の各項を $\ln (5) - \ln (7)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.7.1

$x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ の各項を $\ln (5) - \ln (7)$ で割ります。

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.7.2.1

$\ln (5) - \ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.2

$2$ を $- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ で因数分解します。

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ステップ 4.7.3.2.1

$2$ を $- 2 \ln (7)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- \ln (7)) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.2.2

$2$ を $- 2 \ln (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.2.3

$2$ を $2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.3

$- 1$ を $- \ln (7)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.4

$- 1$ を $- \ln (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.5

$- 1$ を $- \ln (7) - \ln (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.6

式を簡約します。

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ステップ 4.7.3.6.1

$- (\ln (7) + \ln (5))$ を $- 1 (\ln (7) + \ln (5))$ に書き換えます。

$x = \frac{2 (- 1 (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 4.7.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

10進法形式：

$x = 21.13308424 \dots$

微分積分学準備 例

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