微分積分学準備例

$\frac{\sin (a)}{1 - \cot (a)} - \frac{\cos (a)}{\tan (a) - 1}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\cot (a)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} - \frac{\cos (a)}{\tan (a) - 1}$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\tan (a)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$

ステップ 2

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ を掛けます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$

ステップ 3

$- \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ を掛けます。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ に $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ をかけます。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 4.2

$\frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ に $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ をかけます。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 4.3

$(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.2

$\sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$\sin (a)$ と $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.2.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sin^{1} (a) \sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.2.3

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{\sin (a)}^{1 + 1}}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.3

$- 1$ を $\sin (a)$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - 1 \cdot \sin (a) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.4

$- 1 \sin (a)$ を $- \sin (a)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7

$- \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7.2

$\cos (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7.3

$\cos (a)$ と $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7.4

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7.5

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{{\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 6.7.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\sin (a)$ を $\sin^{2} (a)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.2

分数を分解します。

$\frac{\frac{\sin (a)}{1} \cdot \frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.3

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ を $\tan (a)$ に変換します。

$\frac{\frac{\sin (a)}{1} \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.4

$\sin (a)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.5

$\cos (a)$ を $\cos^{2} (a)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.6

分数を分解します。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a)}{1} \cdot \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.7

$\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ を $\cot (a)$ に変換します。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a)}{1} \cot (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 7.8

$\cos (a)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 8

分母を簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ を $\cot (a)$ に変換します。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \cot (a)) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

ステップ 8.2

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ を $\tan (a)$ に変換します。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \cot (a)) (\tan (a) - 1)}$

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