微分積分学準備例

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 1

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 2

$\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (u) (1 + \cos (u))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ に $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

ステップ 3.2

$\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ に $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(1 + \cos (u)) \sin (u)}$

ステップ 3.3

$(1 + \cos (u)) \sin (u)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 + \cos (u)) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.1.2

$\cos (u)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.1.3

$\cos (u)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.1.4

$\cos (u) \cos (u)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.4.1

$\cos (u)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.1.4.2

$\cos (u)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + {\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.2.2

$\cos (u)$ と $\cos (u)$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.3

$\sin (u) \sin (u)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$\sin (u)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.3.2

$\sin (u)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.4

因数分解した形で $1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)$ を書き換えます。

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ステップ 5.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.4.4

$2$ を $2 + 2 \cos (u)$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 5.4.4.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 6

$1 + \cos (u)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sin (u)}$

ステップ 7

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

ステップ 8

$\frac{1}{\sin (u)}$ を $\csc (u)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \csc (u)$

ステップ 9

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \csc (u)$

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