微分積分学準備例

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.6

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4

$\sin (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 1.4.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.2

制限半角の公式を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.7

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.4.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.5

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

ステップ 2.2

$- 1$ を $- \sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

ステップ 2.3

$- 1$ を $- \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

ステップ 2.4

$- 1$ を $- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ を $- 1 (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

ステップ 2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

10進法形式：

$- 0.70710678 \dots$

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