微分積分学準備例

$\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$

ステップ 1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{4}{x})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$ は $\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$ です。

$\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1} \frac{x}{4}$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}} \frac{x}{4}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{4}{x}$ であり、 $b = 1$ です。

$\sqrt{(\frac{4}{x} + 1) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

ステップ 5

1つの分数にまとめます。

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ステップ 5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{4}{x} + \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x})} \frac{x}{4}$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} + \frac{- x}{x})} \frac{x}{4}$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} \cdot \frac{4 - x}{x}} \frac{x}{4}$

ステップ 9

$\frac{4 + x}{x}$ に $\frac{4 - x}{x}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x \cdot x}} \frac{x}{4}$

ステップ 10

$x$ に $x$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

ステップ 11

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 11.1

$(4 + x) (4 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

ステップ 11.2

$x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}} \frac{x}{4}$

ステップ 11.3

分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} \frac{x}{4}$

ステップ 12

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{x} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{x}{4}$

ステップ 13

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

ステップ 14

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

ステップ 14.2

式を書き換えます。

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{1}{4}$

ステップ 15

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例