微分積分学準備例

$\cos (\arcsin (\frac{1}{2} x))$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}, \frac{1}{2} x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{1}{2} x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}, \frac{1}{2} x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{1}{2} x))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$ です。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{1}{2} x$ です。

$\sqrt{(1 + \frac{1}{2} x) (1 - (\frac{1}{2} x))}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - (\frac{1}{2} x))}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

ステップ 4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

ステップ 6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

ステップ 8

$\frac{2 + x}{2}$ に $\frac{2 - x}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 9

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

ステップ 10

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 10.1

$(2 + x) (2 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

ステップ 10.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 10.3

分数 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

ステップ 11

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例