微分積分学準備例

$\cos (\arcsin (\frac{1}{9} x))$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, \frac{1}{9} x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{1}{9} x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}, \frac{1}{9} x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{1}{9} x))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$ です。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{9} x)}^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{1}{9} x$ です。

$\sqrt{(1 + \frac{1}{9} x) (1 - (\frac{1}{9} x))}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{9}$ と $x$ をまとめます。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{9}) (1 - (\frac{1}{9} x))}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{9}$ と $x$ をまとめます。

$\sqrt{(1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})}$

ステップ 4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{9}{9} + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} (1 - \frac{x}{9})}$

ステップ 6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} (\frac{9}{9} - \frac{x}{9})}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 + x}{9} \cdot \frac{9 - x}{9}}$

ステップ 8

$\frac{9 + x}{9}$ に $\frac{9 - x}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{9 \cdot 9}}$

ステップ 9

$9$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(9 + x) (9 - x)}{81}}$

ステップ 10

$\frac{(9 + x) (9 - x)}{81}$ を ${(\frac{1}{9})}^{2} ((9 + x) (9 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 10.1

$(9 + x) (9 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{81}}$

ステップ 10.2

$81$ から完全累乗 $9^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9^{2} \cdot 1}}$

ステップ 10.3

分数 $\frac{1^{2} ((9 + x) (9 - x))}{9^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((9 + x) (9 - x))}$

ステップ 11

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{9} \sqrt{(9 + x) (9 - x)}$

ステップ 12

$\frac{1}{9}$ と $\sqrt{(9 + x) (9 - x)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(9 + x) (9 - x)}}{9}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例