微分積分学準備例

$2 \sin (2 x) \sin (x - 3) \cos (x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (2 x) = 0$

$\sin (x - 3) = 0$

$\cos (x) = 0$

ステップ 2

$\sin (2 x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sin (2 x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (2 x) = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $\sin (2 x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (0)$

ステップ 2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x = 0$

ステップ 2.2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - 0$

ステップ 2.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.5.1

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 x = π + 0$

ステップ 2.2.5.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 2.2.5.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.2.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.2.7

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sin (x - 3)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\sin (x - 3)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x - 3) = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\sin (x - 3) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - 3 = \arcsin (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x - 3 = π - 0$

ステップ 3.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.5.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x - 3 = π$

ステップ 3.2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = π + 3$

ステップ 3.2.6

$\sin (x - 3)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.7

$\sin (x - 3)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $2 \sin (2 x) \sin (x - 3) \cos (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{π}{2} + π n$ と $\frac{π n}{2}$ を $π n$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$\frac{π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π n}{2}$ を $\frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.3

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π n}{2}$ を $\frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.4

$π + 3 + 2 π n$ と $3 + π n$ を $3 + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, 3 + π n$ 、任意の整数 $n$

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