微分積分学準備例

$\frac{11 x - 10}{(x - 2) (x + 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 2}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 2) (x + 1)$ です。

$\frac{(11 x - 10) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(11 x - 10) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(11 x - 10) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(11 x - 10) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.5.2

$11 x - 10$ を $1$ で割ります。

$11 x - 10 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$11 x - 10 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.1.2

$(A) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$11 x - 10 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$11 x - 10 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$11 x - 10 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$11 x - 10 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.4.2

$(B) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$11 x - 10 = A x + A + (B) (x - 2)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$11 x - 10 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

ステップ 1.6.6

$- 2$ を $B$ の左に移動させます。

$11 x - 10 = A x + A + B x - 2 B$

ステップ 1.7

$A$ を移動させます。

$11 x - 10 = A x + B x + A - 2 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$11 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 10 = A - 2 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$11 = A + B$

$- 10 = A - 2 B$

$11 = A + B$

$- 10 = A - 2 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$11 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 11$ として書き換えます。

$A + B = 11$

$- 10 = A - 2 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 11 - B$

$- 10 = A - 2 B$

$A = 11 - B$

$- 10 = A - 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $11 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$- 10 = A - 2 B$ の $A$ のすべての発生を $11 - B$ で置き換えます。

$- 10 = (11 - B) - 2 B$

$A = 11 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- B$ から $2 B$ を引きます。

$- 10 = 11 - 3 B$

$A = 11 - B$

$- 10 = 11 - 3 B$

$A = 11 - B$

$- 10 = 11 - 3 B$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3

$- 10 = 11 - 3 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $11 - 3 B = - 10$ として書き換えます。

$11 - 3 B = - 10$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$- 3 B = - 10 - 11$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3.2.2

$- 10$ から $11$ を引きます。

$- 3 B = - 21$

$A = 11 - B$

$- 3 B = - 21$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3.3

$- 3 B = - 21$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 3 B = - 21$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

$B = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

$B = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

$- 21$ を $- 3$ で割ります。

$B = 7$

$A = 11 - B$

$B = 7$

$A = 11 - B$

$B = 7$

$A = 11 - B$

$B = 7$

$A = 11 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $7$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 11 - B$ の $B$ のすべての発生を $7$ で置き換えます。

$A = 11 - (7)$

$B = 7$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$11 - (7)$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$A = 11 - 7$

$B = 7$

ステップ 3.4.2.1.2

$11$ から $7$ を引きます。

$A = 4$

$B = 7$

$A = 4$

$B = 7$

$A = 4$

$B = 7$

$A = 4$

$B = 7$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = 4, B = 7$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{4}{x - 2} + \frac{7}{x + 1}$

微分積分学準備 例

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