微分積分学準備例

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

ステップ 1

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ の偏角を $- 1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \geq - 1$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

両辺に $1 - x^{2}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$1 - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

ステップ 2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$2 x = - (1 - x^{2})$

ステップ 2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- (1 - x^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x = - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x = - 1 - - x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.3

$- - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x = - 1 + 1 x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x = - 1 + x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$2 x = x^{2} - 1$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$2 x - x^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x - x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.4

$a = - 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.1.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

ステップ 2.3.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{2}$

ステップ 2.3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.1.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

ステップ 2.3.7.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{2}$

ステップ 2.3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 2.4

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(1 + x) (1 - x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 2.4.2.2

$1 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$1 + x$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x = 0$

ステップ 2.4.2.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4.2.3

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 2.4.2.3.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 2.4.2.3.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.4.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.4.2.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.4.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 2.4.2.4

最終解は $(1 + x) (1 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 2.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1$

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

ステップ 2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 4)}{1 - {(- 4)}^{2}} \geq - 1$

ステップ 2.6.1.3

左辺 $0.5\overline{3}$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.6.2

区間 $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

区間 $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.71$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.71$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 0.71)}{1 - {(- 0.71)}^{2}} \geq - 1$

ステップ 2.6.2.3

左辺 $- 2.86348054$ は右辺 $- 1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.6.3

区間 $1 - \sqrt{2} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

区間 $1 - \sqrt{2} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.6.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \geq - 1$

ステップ 2.6.3.3

左辺 $0$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.6.4

区間 $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

区間 $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.6.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{2 (2)}{1 - {(2)}^{2}} \geq - 1$

ステップ 2.6.4.3

左辺 $- 1.\overline{3}$ は右辺 $- 1$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.6.5

区間 $x > 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

区間 $x > 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 2.6.5.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{2 (5)}{1 - {(5)}^{2}} \geq - 1$

ステップ 2.6.5.3

左辺 $- 0.41\overline{6}$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.6.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ 偽

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ 真

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{2}$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ 偽

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ 真

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{2}$ 真

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $1 - \sqrt{2} \leq x < 1$ または $x \geq 1 + \sqrt{2}$

ステップ 3

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ の偏角を $1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \leq 1$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

両辺に $1 - x^{2}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$1 - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

ステップ 4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$2 x = 1 (1 - x^{2})$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$1 (1 - x^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$1 - x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x = 1 - x^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$2 x = - x^{2} + 1$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$2 x + x^{2} = 1$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x + x^{2} - 1 = 0$

ステップ 4.3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.3.4

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + \sqrt{2}$

ステップ 4.3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.7.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4.3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4.4

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(1 + x) (1 - x) = 0$

ステップ 4.4.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 4.4.2.2

$1 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

$1 + x$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x = 0$

ステップ 4.4.2.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.4.2.3

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 4.4.2.3.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 4.4.2.3.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 4.4.2.4

最終解は $(1 + x) (1 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 4.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1 - \sqrt{2}$

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$

$x > 1$

ステップ 4.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

区間 $x < - 1 - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

区間 $x < - 1 - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 4.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 5)}{1 - {(- 5)}^{2}} \leq 1$

ステップ 4.6.1.3

左辺 $0.41\overline{6}$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 4.6.2

区間 $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

区間 $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 4.6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 2)}{1 - {(- 2)}^{2}} \leq 1$

ステップ 4.6.2.3

左辺 $1.\overline{3}$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.6.3

区間 $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.6.3.1

区間 $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.6.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \leq 1$

ステップ 4.6.3.3

左辺 $0$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 4.6.4

区間 $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.4.1

区間 $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.71$

ステップ 4.6.4.2

$x$ を元の不等式の $0.71$ で置き換えます。

$\frac{2 (0.71)}{1 - {(0.71)}^{2}} \leq 1$

ステップ 4.6.4.3

左辺 $2.86348054$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.6.5

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.6.5.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.6.5.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{2 (4)}{1 - {(4)}^{2}} \leq 1$

ステップ 4.6.5.3

左辺 $- 0.5\overline{3}$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 4.6.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1 - \sqrt{2}$ 真

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ 真

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 1 - \sqrt{2}$ 真

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ 真

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 4.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1 - \sqrt{2}$ または $- 1 < x \leq - 1 + \sqrt{2}$ または $x > 1$

ステップ 5

$\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x^{2} = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 6.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 6.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 6.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 6.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 6.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1 - \sqrt{2}] \cup [1 - \sqrt{2}, - 1 + \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 + \sqrt{2}, x \geq 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例