微分積分学準備例

${(- 1 + \sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 3 \cdot 1 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 3 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.5

積の法則を $\sqrt{3} i$ に当てはめます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{1} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.6.5

指数を求めます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.7

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 \cdot - 1) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.8

$- 3 (3 \cdot - 1)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.8.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 \cdot - 3 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.8.2

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

ステップ 2.1.9

積の法則を $\sqrt{3} i$ に当てはめます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {\sqrt{3}}^{3} i^{3}$

ステップ 2.1.10

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{3}} i^{3}$

ステップ 2.1.11

$3$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{27} i^{3}$

ステップ 2.1.12

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.12.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{9 (3)} i^{3}$

ステップ 2.1.12.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}$

ステップ 2.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} i^{3}$

ステップ 2.1.14

$i^{2}$ を因数分解します。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)$

ステップ 2.1.15

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)$

ステップ 2.1.16

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- i)$

ステップ 2.1.17

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 - 3 \sqrt{3} i$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$3 \sqrt{3} i + 8 - 3 \sqrt{3} i$

ステップ 2.2.2

$3 \sqrt{3} i$ から $3 \sqrt{3} i$ を引きます。

$0 + 8$

ステップ 2.2.3

$0$ と $8$ をたし算します。

$8$

微分積分学準備 例

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