微分積分学準備例

$\frac{7}{y + 1} > 7$

ステップ 1

不等式の両辺から $7$ を引きます。

$\frac{7}{y + 1} - 7 > 0$

ステップ 2

$\frac{7}{y + 1} - 7$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y + 1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{7}{y + 1} - 7 \cdot \frac{y + 1}{y + 1} > 0$

ステップ 2.2

$- 7$ と $\frac{y + 1}{y + 1}$ をまとめます。

$\frac{7}{y + 1} + \frac{- 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$7$ を $7 - 7 (y + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$\frac{7 (1) - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.1.2

$7$ を $- 7 (y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{7 (1) + 7 (- (y + 1))}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.1.3

$7$ を $7 (1) + 7 (- (y + 1))$ で因数分解します。

$\frac{7 (1 - (y + 1))}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (1 - y - 1 \cdot 1)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 (1 - y - 1)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{7 (- y + 0)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.5

$- y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7 \cdot - 1 y}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.6

指数をまとめます。

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ステップ 2.4.6.1

負をくくり出します。

$\frac{- (7 y)}{y + 1} > 0$

ステップ 2.4.6.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 7 y}{y + 1} > 0$

ステップ 2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 y}{y + 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$- 7 y = 0$

$y + 1 = 0$

ステップ 4

$- 7 y = 0$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- 7 y = 0$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

ステップ 4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{- 7}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 7$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - 1$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$y = 0$

$y = - 1$

ステップ 7

解をまとめます。

$y = 0, - 1$

ステップ 8

$- \frac{7 y}{y + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{7 y}{y + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$y + 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = - 1$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $y$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < - 1$

$- 1 < y < 0$

$y > 0$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $y < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $y < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 4$

ステップ 10.1.2

$y$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{7}{(- 4) + 1} > 7$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 2.\overline{3}$ は右辺 $7$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $- 1 < y < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 1 < y < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 0.5$

ステップ 10.2.2

$y$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$\frac{7}{(- 0.5) + 1} > 7$

ステップ 10.2.3

左辺 $14$ は右辺 $7$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $y > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $y > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 2$

ステップ 10.3.2

$y$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{7}{(2) + 1} > 7$

ステップ 10.3.3

左辺 $2.\overline{3}$ は右辺 $7$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < - 1$ 偽

$- 1 < y < 0$ 真

$y > 0$ 偽

$y < - 1$ 偽

$- 1 < y < 0$ 真

$y > 0$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < y < 0$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 1 < y < 0$

区間記号：

$(- 1, 0)$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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