微分積分学準備例

$\cos (\frac{9}{8} \cdot π)$

ステップ 1

$\frac{9}{8}$ と $π$ をまとめます。

$\cos (\frac{9 π}{8})$

ステップ 2

$\cos (\frac{9 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{9 π}{8}$ を書き直します。

$\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

ステップ 2.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$

ステップ 2.3

余弦が第三象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$

ステップ 2.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 2.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 2.4.6

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.6.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

ステップ 2.4.7

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 2.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

10進法形式：

$- 0.92387953 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例