微分積分学準備例

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

ステップ 1

右辺から始めます。

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))}^{2}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ を $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ に書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.2

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1.4.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

ステップ 2.3.3.1.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.3.1.4.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.6

完全平方式を利用して因数分解します。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ に書き換えます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.4

$a = 1$ と $b = \sin (x)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.2

${(1 + \sin (x))}^{2}$ と $1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ は公式です

微分積分学準備 例

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