微分積分学準備例

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\frac{\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ を $- \sin (a) \sin (b)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 3.2

$- 1$ を $\cos (a) \cos (b)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 3.3

$- 1$ を $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 3.4

$- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ を $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 4

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\cot (b) - \tan (a)$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 5.1

商の恒等式を利用して $\cot (b)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \tan (a)$

ステップ 5.2

商の恒等式を利用して $\tan (a)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

ステップ 6

分数を引き算します。

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ステップ 6.1

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

ステップ 6.2

$- \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

ステップ 6.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin (b) \cos (a)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ に $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ をかけます。

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

ステップ 6.3.2

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ に $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ をかけます。

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 6.3.3

$\sin (b) \cos (a)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (b) \cos (a) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- \sin (a) \sin (b)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 7.2

$- 1$ を $\cos (a) \cos (b)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 7.4

$- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ を $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 7.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$ は公式です

微分積分学準備 例

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