微分積分学準備例

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

ステップ 3.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

ステップ 3.2.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

ステップ 3.2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.2.4

簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.2.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 3.2.4.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

ステップ 3.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

ステップ 3.2.5.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

ステップ 3.2.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

ステップ 3.3

$0$ を $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ で割ります。

$0$

微分積分学準備 例

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