微分積分学準備例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \tan (2 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 1.1.3.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 1.1.3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

ステップ 1.1.3.5.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.5.3

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $2 \sin (2 x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

ステップ 1.3.6

$f (x) = x$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.11

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \cdot 1}$

ステップ 1.3.13

$\tan (2 x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x)}$

ステップ 1.3.14

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3.5

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

ステップ 3.1.3.7

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 3.1.3.8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.9.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.10.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.10.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.10.1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.10.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.10.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{0}{0 + \tan (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.10.1.6

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{0}{0 + \tan (0)}$

ステップ 3.1.3.10.1.7

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \frac{0}{0 + 0}$

ステップ 3.1.3.10.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.10.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.11

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.7

総和則では、 $2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8

$\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.8.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \sec^{2} (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sec^{2} (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.4

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.4.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.8

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.9

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \cdot 2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.10

$2$ に $2$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.11

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.12

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.8.15

$\sec^{2} (2 x)$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

ステップ 3.3.9

$\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.9.1.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.9.1.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.9.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.9.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

ステップ 3.3.9.5

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.1

分配則を当てはめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.2.1

$4$ に $2$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.2.2

$2 \sec^{2} (2 x)$ と $2 \sec^{2} (2 x)$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (2 x)}$ に当てはめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.4

$8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.3.4.1

$8$ と $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{x \frac{8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.4.2

$x$ と $\frac{8}{\cos^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{x \cdot 8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.5

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 \cdot x}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.6

正弦と余弦に関して $\tan (2 x)$ を書き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.7

まとめる。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.8

指数を足して $\cos^{2} (2 x)$ に $\cos (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.3.8.1

$\cos^{2} (2 x)$ に $\cos (2 x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.3.8.1.1

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 3.3.10.3.9

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

ステップ 3.3.10.3.10

積の法則を $\frac{1}{\cos (2 x)}$ に当てはめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

ステップ 3.3.10.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

ステップ 3.3.10.3.12

$4$ と $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)}}$

ステップ 3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}}$

ステップ 3.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos^{3} (2 x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ に $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)}}$

ステップ 3.4.2.2

指数を足して $\cos^{2} (2 x)$ に $\cos (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$\cos^{2} (2 x)$ に $\cos (2 x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)}}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}}}$

ステップ 3.4.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.7

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.9

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.11

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.12

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.13

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

ステップ 4.14

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\cos^{3} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{3}}}$

ステップ 4.15

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

ステップ 4.16

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.1.2

$2$ を $\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{2 \frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.1.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{2 \frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.1.4

式を書き換えます。

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.2

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.3

$4$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.4

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.5

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.6

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 6.7

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

ステップ 6.8

$2$ と $\frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

ステップ 6.9

分子を簡約します。

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ステップ 6.9.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}$

ステップ 6.9.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}$

ステップ 6.9.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{\cos^{3} (0)}}$

ステップ 6.10

分母を簡約します。

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ステップ 6.10.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{1^{3}}}$

ステップ 6.10.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{1}}$

ステップ 6.11

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2 \cdot 1}{\frac{2}{1}}$

ステップ 6.12

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 \cdot 1}{2}$

ステップ 6.13

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{2}$

ステップ 6.14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.14.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2}$

ステップ 6.14.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例