微分積分学準備例

$\sum_{n = 1}^{8} 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ と ${(\frac{1}{5})}^{n}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{1}{5})}^{n}$ を ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{\frac{1}{5}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$\frac{1}{5}$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{1}{5}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $1$ を $5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$ に代入します。

$a = 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

簡約します。

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$a = 1$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

ステップ 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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ステップ 5.2.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

ステップ 5.2.2

まとめる。

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

ステップ 5.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{1}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.2

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1

$- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3.2

$5$ を $5^{8}$ で因数分解します。

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3.4

式を書き換えます。

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.5

$5$ を $7$ 乗します。

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.8

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{78125}{78125}$ を掛けます。

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.9

$5$ と $\frac{78125}{78125}$ をまとめます。

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.11.1

$5$ に $78125$ をかけます。

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.11.2

$390625$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

ステップ 5.6.2

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

ステップ 5.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.8

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.1

$4$ を $390624$ で因数分解します。

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.8.3

式を書き換えます。

$\frac{97656}{78125}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{97656}{78125}$

10進法形式：

$1.2499968$

帯分数形：

$1 \frac{19531}{78125}$

微分積分学準備 例

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