微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{7})}^{k}$

ステップ 1

$k$ の各値の級数を展開します。

${(- \frac{3}{7})}^{1} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

簡約します。

$- \frac{3}{7} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.2.1

積の法則を $- \frac{3}{7}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.2.2

積の法則を $\frac{3}{7}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + 1 \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.4

$\frac{3^{2}}{7^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{7} + \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.6

$7$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.7.1

積の法則を $- \frac{3}{7}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.7.2

積の法則を $\frac{3}{7}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{3^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.9

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.10

$7$ を $3$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.11

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.11.1

積の法則を $- \frac{3}{7}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{7})}^{4}$

ステップ 2.1.11.2

積の法則を $\frac{3}{7}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{7^{4}}$

ステップ 2.1.12

$- 1$ を $4$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + 1 \frac{3^{4}}{7^{4}}$

ステップ 2.1.13

$\frac{3^{4}}{7^{4}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{3^{4}}{7^{4}}$

ステップ 2.1.14

$3$ を $4$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{7^{4}}$

ステップ 2.1.15

$7$ を $4$ 乗します。

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2

公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{3}{7}$ に $\frac{343}{343}$ をかけます。

$- (\frac{3}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.2

$\frac{3}{7}$ に $\frac{343}{343}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.3

$\frac{9}{49}$ に $\frac{49}{49}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.4

$\frac{9}{49}$ に $\frac{49}{49}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.5

$\frac{27}{343}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - (\frac{27}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.6

$\frac{27}{343}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.7

$7$ に $343$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.8

$49$ に $49$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.9

$343 \cdot 7$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{7 \cdot 343} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.2.10

$7$ に $343$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{2401} + \frac{81}{2401}$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 343 + 9 \cdot 49 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$- 3$ に $343$ をかけます。

$\frac{- 1029 + 9 \cdot 49 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

ステップ 2.4.2

$9$ に $49$ をかけます。

$\frac{- 1029 + 441 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

ステップ 2.4.3

$- 27$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 1029 + 441 - 189 + 81}{2401}$

ステップ 2.5

$- 1029$ と $441$ をたし算します。

$\frac{- 588 - 189 + 81}{2401}$

ステップ 2.6

$- 588$ から $189$ を引きます。

$\frac{- 777 + 81}{2401}$

ステップ 2.7

$- 777$ と $81$ をたし算します。

$\frac{- 696}{2401}$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{696}{2401}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{696}{2401}$

10進法形式：

$- 0.28987921 \dots$

微分積分学準備 例

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