微分積分学準備例

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{6^{n + 1}}$ と $6^{n}$ をまとめます。

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

ステップ 2.2.3

$6^{n}$ と $6^{n + 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$6^{n + 1}$ を $6^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

ステップ 2.2.3.2.4

$6^{n - (n + 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 6^{n - (n + 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = 6^{n - n - 1}$

ステップ 2.2.5

$n$ から $n$ を引きます。

$r = 6^{0 - 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ から $1$ を引きます。

$r = 6^{- 1}$

ステップ 2.2.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = \frac{1}{6}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $0$ を $\frac{1}{6^{n}}$ に代入します。

$a = \frac{1}{6^{0}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$a = 1$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

ステップ 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

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ステップ 5.2.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

ステップ 5.2.2

まとめる。

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

ステップ 5.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{1}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.2

積の法則を $\frac{1}{6}$ に当てはめます。

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1

$- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3.2

$6$ を $6^{9}$ で因数分解します。

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.3.4

式を書き換えます。

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.5

$6$ を $8$ 乗します。

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.8

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1679616}{1679616}$ を掛けます。

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.9

$6$ と $\frac{1679616}{1679616}$ をまとめます。

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.11.1

$6$ に $1679616$ をかけます。

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5.11.2

$10077696$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

ステップ 5.6.2

$6$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

ステップ 5.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 5.8

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.1

$5$ を $10077695$ で因数分解します。

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 5.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 5.8.3

式を書き換えます。

$\frac{2015539}{1679616}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2015539}{1679616}$

10進法形式：

$1.19999988 \dots$

帯分数形：

$1 \frac{335923}{1679616}$

微分積分学準備 例

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