微分積分学準備例

$x^{2} - 2 x - 8 y + 17 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- 2 x - 8 y + 17 = - x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$- 8 y + 17 = - x^{2} + 2 x$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $17$ を引きます。

$- 8 y = - x^{2} + 2 x - 17$

ステップ 1.1.2

$- 8 y = - x^{2} + 2 x - 17$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 8 y = - x^{2} + 2 x - 17$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{- 8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ と $- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{- 4} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} + \frac{- 17}{- 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} + \frac{17}{8}$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} + \frac{17}{8}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{8}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = \frac{17}{8}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{1}{4} (1 \cdot 4)$

ステップ 1.2.3.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.5.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$d = \frac{- 1}{4} (1 \cdot 4)$

ステップ 1.2.3.2.5.2

$4$ を $1 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{- 1}{4} (4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.2.5.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 1}{4} (4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.2.5.4

式を書き換えます。

$d = - 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{17}{8} - \frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{4}$ に当てはめます。

$e = \frac{17}{8} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{17}{8} - \frac{1 (\frac{1}{16})}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4}{8}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{17}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{17}{8} - (\frac{1}{16} \cdot 2)$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$e = \frac{17}{8} - (\frac{1}{2 (8)} \cdot 2)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{17}{8} - (\frac{1}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{17}{8} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{17 - 1}{8}$

ステップ 1.2.4.2.3

$17$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{16}{8}$

ステップ 1.2.4.2.4

$16$ を $8$ で割ります。

$e = 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} + 2$ に代入します。

$\frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{8} \cdot {(x - 1)}^{2} + 2$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{8}$

$h = 1$

$k = 2$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(1, 2)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 2$

ステップ 5.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, 4)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = 0$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(1, 2)$

焦点： $(1, 4)$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = 0$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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