微分積分学準備例

$y^{2} + 6 y + 8 x + 25 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$6 y + 8 x + 25 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $6 y$ を引きます。

$8 x + 25 = - y^{2} - 6 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$8 x = - y^{2} - 6 y - 25$

ステップ 1.1.2

$8 x = - y^{2} - 6 y - 25$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$8 x = - y^{2} - 6 y - 25$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{8} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{8} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{8} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{8} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 6$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 6 y$ で因数分解します。

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (- 3 y)}{8} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (- 3 y)}{2 (4)} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (- 3 y)}{2 \cdot 4} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{4} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{8} - \frac{3 y}{4} + \frac{- 25}{8}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y^{2}}{8} - \frac{3 y}{4} - \frac{25}{8}$

ステップ 1.2

$- \frac{y^{2}}{8} - \frac{3 y}{4} - \frac{25}{8}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{8}$

$b = - \frac{3}{4}$

$c = - \frac{25}{8}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{3}{4}}{2 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

ステップ 1.2.3.2.4

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

ステップ 1.2.3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.4.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

ステップ 1.2.3.2.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.6.1

$4$ を $1 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.2.6.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.2.6.3

式を書き換えます。

$d = 3$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{4}$ に当てはめます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{1 \frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{1 \frac{9}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{1 (\frac{9}{16})}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6

$\frac{9}{16}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (- \frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- 4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 4}{8}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$- 4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = - \frac{25}{8} - (\frac{9}{16} (- 1 \cdot 2))$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$e = - \frac{25}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (- 1 \cdot 2))$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

$2$ を $- 1 \cdot 2$ で因数分解します。

$e = - \frac{25}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (2 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$e = - \frac{25}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} (2 \cdot - 1))$

ステップ 1.2.4.2.1.5.4

式を書き換えます。

$e = - \frac{25}{8} - (\frac{9}{8} \cdot - 1)$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$\frac{9}{8}$ と $- 1$ をまとめます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{9 \cdot - 1}{8}$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$9$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{25}{8} - \frac{- 9}{8}$

ステップ 1.2.4.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{25}{8} - - \frac{9}{8}$

ステップ 1.2.4.2.1.9

$- - \frac{9}{8}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{25}{8} + 1 (\frac{9}{8})$

ステップ 1.2.4.2.1.9.2

$\frac{9}{8}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{25}{8} + \frac{9}{8}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 25 + 9}{8}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 25$ と $9$ をたし算します。

$e = \frac{- 16}{8}$

ステップ 1.2.4.2.4

$- 16$ を $8$ で割ります。

$e = - 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 2$ に代入します。

$- \frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 2$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = - \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 2$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{8}$

$h = - 2$

$k = - 3$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は左に開です。

左に開

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 2, - 3)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

ステップ 5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 \cdot 2)$

ステップ 5.3.5

$- (1 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cdot 2$

ステップ 5.3.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 4, - 3)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 3$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = 0$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：左に開

頂点： $(- 2, - 3)$

焦点： $(- 4, - 3)$

対称軸： $y = - 3$

準線： $x = 0$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例