微分積分学準備例

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{40} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{49} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{40} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 7$

$b = 2 \sqrt{10}$

$k = 2$

$h = 2$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(2, 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{49 - {(2 \sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

積の法則を $2 \sqrt{10}$ に当てはめます。

$\sqrt{49 - (2^{2} {\sqrt{10}}^{2})}$

ステップ 5.3.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{49 - (4 {\sqrt{10}}^{2})}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{49 - (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{49 - 1 \cdot 4 \cdot 10^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{49 - (4 \cdot 10)}$

ステップ 5.3.3

$- (4 \cdot 10)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.1

$4$ に $10$ をかけます。

$\sqrt{49 - 1 \cdot 40}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ に $40$ をかけます。

$\sqrt{49 - 40}$

ステップ 5.3.4

$49$ から $40$ を引きます。

$\sqrt{9}$

ステップ 5.3.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2}}$

ステップ 5.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$3$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2 + 7, 2)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(9, 2)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2 - (7), 2)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- 5, 2)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2 + 3, 2)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(5, 2)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2 - (3), 2)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- 1, 2)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(2 \sqrt{10})}^{2}}}{7}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{49 - {(2 \sqrt{10})}^{2}}}{7}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $2 \sqrt{10}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{49 - (2^{2} {\sqrt{10}}^{2})}}{7}$

ステップ 8.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{49 - (4 {\sqrt{10}}^{2})}}{7}$

ステップ 8.3.4

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{49 - (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{7}$

ステップ 8.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{7}$

ステップ 8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}}{7}$

ステップ 8.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}})}}{7}$

ステップ 8.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 4 \cdot 10^{1}}}{7}$

ステップ 8.3.4.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{49 - (4 \cdot 10)}}{7}$

ステップ 8.3.5

$- (4 \cdot 10)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.5.1

$4$ に $10$ をかけます。

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 40}}{7}$

ステップ 8.3.5.2

$- 1$ に $40$ をかけます。

$\frac{\sqrt{49 - 40}}{7}$

ステップ 8.3.6

$49$ から $40$ を引きます。

$\frac{\sqrt{9}}{7}$

ステップ 8.3.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{7}$

ステップ 8.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3}{7}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(2, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 2)$

偏心： $\frac{3}{7}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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