微分積分学準備例

$(2, \frac{5 π}{4})$

ステップ 1

変換式を使って直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, θ)$ に交換します。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 2

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{5 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3

極座標表の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{4 + {(\frac{5 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $\frac{5 π}{4}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{4 + \frac{{(5 π)}^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.2

積の法則を $5 π$ に当てはめます。

$r = \sqrt{4 + \frac{5^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + \frac{5^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{4 + \frac{25 π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.4

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{4 + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.5

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$r = \sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.6

$4$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

公分母の分子をまとめます。

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.7.2

$4$ に $16$ をかけます。

$r = \sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.8

$\sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$ を $\frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.9

分母を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 4

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

ステップ 5

$\frac{5 π}{8}$ の逆正切は $θ = 63.01044615 °$ です。

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = 63.01044615 °$

ステップ 6

$(r, θ)$ 形式で極座標に変換した結果です。

$(\frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}, 63.01044615 °)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$