微分積分学準備例

$y^{2} + 6 y - 2 x + 13 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$6 y - 2 x + 13 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $6 y$ を引きます。

$- 2 x + 13 = - y^{2} - 6 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$

ステップ 1.1.2

$- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 6$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$- 2$ を $- 6 y$ で因数分解します。

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (1)} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 1} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{3 y}{1} + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.4

$3 y$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{- 13}{- 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{13}{2}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = \frac{3}{\frac{2}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ を $2$ で割ります。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 1.2.3.2.3

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{13}{2} - \frac{3^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ を $2$ で割ります。

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{13 - 9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.3

$13$ から $9$ を引きます。

$e = \frac{4}{2}$

ステップ 1.2.4.2.4

$4$ を $2$ で割ります。

$e = 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$ に代入します。

$\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 3)}^{2} + 2$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 3$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, - 3)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 5.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{5}{2}, - 3)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = - 3$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(2, - 3)$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

対称軸： $y = - 3$

準線： $x = \frac{3}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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