微分積分学準備例

$7 x^{2} + x + 7 y^{2} + 7 y - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$7 x^{2} + x + 7 y^{2} + 7 y = 1$

ステップ 2

方程式の両辺を $7$ で割ります。

$x^{2} + \frac{x}{7} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$

ステップ 3

$x^{2} + \frac{x}{7}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{1}{7}$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{1}{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d = \frac{1}{7 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.3.2

$7$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{14}$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{7})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{1}{7}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{7^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{7^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.1.3

$7$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{49}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{49}}{4}$

ステップ 3.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 3.4.2.1.4

$\frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.4.1

$\frac{1}{49}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{49 \cdot 4}$

ステップ 3.4.2.1.4.2

$49$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{196}$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{196}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{196}$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196}$

ステップ 4

${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196}$ を方程式 $x^{2} + \frac{x}{7} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$ の中の $x^{2} + \frac{x}{7}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$

ステップ 5

両辺に $\frac{1}{196}$ を加えて、 $- \frac{1}{196}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + y^{2} + y = \frac{1}{7} + \frac{1}{196}$

ステップ 6

$y^{2} + y$ の平方完成。

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ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{4}$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ に代入します。

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 7

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ を方程式 $x^{2} + \frac{x}{7} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$ の中の $y^{2} + y$ に代入します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{7} + \frac{1}{196}$

ステップ 8

両辺に $\frac{1}{4}$ を加えて、 $- \frac{1}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{7} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$

ステップ 9

$\frac{1}{7} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

公分母を求めます。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{28}{28}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{7} \cdot \frac{28}{28} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{7}$ に $\frac{28}{28}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{7 \cdot 28} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$

ステップ 9.1.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{49}{49}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{7 \cdot 28} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{49}$

ステップ 9.1.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{49}{49}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{7 \cdot 28} + \frac{1}{196} + \frac{49}{4 \cdot 49}$

ステップ 9.1.5

$7$ に $28$ をかけます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{196} + \frac{1}{196} + \frac{49}{4 \cdot 49}$

ステップ 9.1.6

$4$ に $49$ をかけます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{196} + \frac{1}{196} + \frac{49}{196}$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28 + 1 + 49}{196}$

ステップ 9.3

数を加えて簡約します。

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ステップ 9.3.1

$28$ と $1$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{29 + 49}{196}$

ステップ 9.3.2

$29$ と $49$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{78}{196}$

ステップ 9.4

$78$ と $196$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

$2$ を $78$ で因数分解します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 (39)}{196}$

ステップ 9.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$2$ を $196$ で因数分解します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 98}$

ステップ 9.4.2.2

共通因数を約分します。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 98}$

ステップ 9.4.2.3

式を書き換えます。

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{39}{98}$

ステップ 10

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 11

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{\sqrt{78}}{14}$

$h = - \frac{1}{14}$

$k = - \frac{1}{2}$

ステップ 12

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{2})$

ステップ 13

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{2})$

半径： $\frac{\sqrt{78}}{14}$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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