微分積分学準備例

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{2}$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 0 \cdot 2$

ステップ 1.2.3.2.3

$0$ に $2$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ を $2$ で割ります。

$e = 0 - \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$0$ を $2$ で割ります。

$e = 0 - 0$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 + 0$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e = 0$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{2} x^{2}$ に代入します。

$\frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 5.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, \frac{1}{2})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 0$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{1}{2}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{1}{2})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = - \frac{1}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例