微分積分学準備例

$\sum_{i = 1}^{11} 5 \cdot 2^{i}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

ステップ 2.2.2

$2^{i + 1}$ と $2^{i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$2^{i}$ を $2^{i + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{2}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$r = 2$

$r = 2$

$r = 2$

$r = 2$

$r = 2$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を $5 \cdot 2^{i}$ に代入します。

$a = 5 \cdot 2^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

指数を求めます。

$a = 5 \cdot 2$

ステップ 3.2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$a = 10$

$a = 10$

$a = 10$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$10 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ を $11$ 乗します。

$10 \frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $2048$ をかけます。

$10 \frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.1.3

$1$ から $2048$ を引きます。

$10 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

$10 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$10 \frac{- 2047}{1 - 2}$

ステップ 5.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$10 (\frac{- 2047}{- 1})$

$10 (\frac{- 2047}{- 1})$

ステップ 5.3

$- 2047$ を $- 1$ で割ります。

$10 \cdot 2047$

ステップ 5.4

$10$ に $2047$ をかけます。

$20470$

$20470$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$