微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} = 49$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} = 49 - x^{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{49 - x^{2}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{49 - x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 7$ であり、 $b = x$ です。

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

ステップ 5

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

ステップ 6.2

$7 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

$7 + x$ が $0$ に等しいとします。

$7 + x = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 6.3

$7 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$7 - x$ が $0$ に等しいとします。

$7 - x = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について $7 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 6.3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- x = - 7$

ステップ 6.3.2.2

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.3.1

$- 7$ を $- 1$ で割ります。

$x = 7$

ステップ 6.4

最終解は $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 7, 7$

ステップ 6.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 6.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.6.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

ステップ 6.6.1.3

左辺 $- 51$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.6.2

区間 $- 7 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.2.1

区間 $- 7 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

ステップ 6.6.2.3

左辺 $49$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.6.3

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.3.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 6.6.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

ステップ 6.6.3.3

左辺 $- 51$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 偽

$- 7 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 7$ 偽

$- 7 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 6.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 7 \leq x \leq 7$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 7, 7]$

集合の内包的記法：

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

ステップ 8

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 7, 7]$

集合の内包的記法：

${y | - 7 \leq y \leq 7}$

ステップ 9

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 7, 7], {x | - 7 \leq x \leq 7}$

値域： $[- 7, 7], {y | - 7 \leq y \leq 7}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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