微分積分学準備例

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(- \cos (x))}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \cos (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \cos (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4

多項式の結果を簡約します。

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ステップ 4.1

項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.2

積の法則を $- \cos (x)$ に当てはめます。

$\sin^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \cos^{0} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

${(- 1)}^{0} \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.5

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\sin^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.7

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.8

簡約します。

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.9

簡約します。

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cdot (- \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.10

$2 \sin (x)$ と $- \cos (x)$ を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \cdot (2 \sin (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.11

括弧を付けます。

$\sin^{2} (x) - (\cos (x) \cdot (2 \sin (x))) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.12

$\cos (x)$ と $2 \sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) - (2 \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.13

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.14

$\sin^{0} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.15

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.16

${(- \cos (x))}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \cos (x))}^{2}$

ステップ 4.1.1.17

積の法則を $- \cos (x)$ に当てはめます。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

ステップ 4.1.1.18

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cos^{2} (x)$

ステップ 4.1.1.19

$\cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 4.1.2

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

ステップ 4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 - \sin (2 x)$

微分積分学準備 例

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