微分積分学準備例

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

ステップ 2.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

$2$ を $2$ で割ります。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 2.1.1.3.2.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 2.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.3

$4$ を $2$ で割ります。

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.2

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.3

$- 6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.5.1

$- 6$ に $2$ をかけます。

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.5.2

$- 12$ から $1$ を引きます。

$e = \frac{- 13}{2}$

ステップ 2.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{13}{2}$

ステップ 2.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ に代入します。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

ステップ 2.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

ステップ 2.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(1, - \frac{13}{2})$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

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ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, - 6)$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.8

準線を求めます。

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ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - 7$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(1, - \frac{13}{2})$

焦点： $(1, - 6)$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = - 7$

方向：上に開

頂点： $(1, - \frac{13}{2})$

焦点： $(1, - 6)$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = - 7$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1.1

$- (0)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

ステップ 3.2.1.2

$\frac{- (0)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{- (0)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

ステップ 3.2.1.4

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 3.2.1.5

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.2.1.6

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.3.2

$- (0) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.3.2.2

$0$ に $2$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.3.3

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

ステップ 3.2.4.3

$- 12$ を $2$ で割ります。

$f (0) = - 6$

ステップ 3.2.5

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 3.3

$x = 0$ における $y$ 値は $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$- (- 1)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

ステップ 3.5.1.2

$\frac{- (- 1)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

ステップ 3.5.1.3

$\frac{- (- 1)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

ステップ 3.5.1.4

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 3.5.1.5

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.5.1.6

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.5.3.2

$- (- 1) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.5.3.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.5.3.3

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

ステップ 3.5.4.2

$3$ から $12$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

ステップ 3.5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

ステップ 3.5.5

最終的な答えは $- \frac{9}{2}$ です。

$- \frac{9}{2}$

ステップ 3.6

$x = - 1$ における $y$ 値は $- \frac{9}{2}$ です。

$y = - \frac{9}{2}$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$- (2)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

ステップ 3.8.1.2

$\frac{- (2)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

ステップ 3.8.1.3

$\frac{- (2)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

ステップ 3.8.1.4

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 3.8.1.5

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.8.1.6

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.8.2

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.8.3.2

$- (2) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.8.3.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.8.3.3

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

ステップ 3.8.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

ステップ 3.8.4.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

ステップ 3.8.4.3

$- 12$ を $2$ で割ります。

$f (2) = - 6$

ステップ 3.8.5

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 3.9

$x = 2$ における $y$ 値は $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1

$- (4)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

ステップ 3.11.1.2

$\frac{- (4)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

ステップ 3.11.1.3

$\frac{- (4)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

ステップ 3.11.1.4

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

ステップ 3.11.1.5

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.11.1.6

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.11.2

公分母の分子をまとめます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.11.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.11.3.2

$- (4) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.3.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.11.3.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.11.3.3

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

ステップ 3.11.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.4.1

$16$ から $8$ を引きます。

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

ステップ 3.11.4.2

$8$ から $12$ を引きます。

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.11.4.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$f (4) = - 2$

ステップ 3.11.5

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 3.12

$x = 4$ における $y$ 値は $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(1, - \frac{13}{2})$

焦点： $(1, - 6)$

対称軸： $x = 1$

準線： $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例