微分積分学準備例

${(2 x - 3 y)}^{3}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(2 x - 3 y)}^{3}$ に対して $n = 3$ なので、展開の係数は線 $4$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 3 - 3 - 1$ です。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

ステップ 3

$a$ $2 x$ と $b$ $- 3 y$ の実価を式に代入します。

$1 {(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(2 x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$2^{3} x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.3

$2$ を $3$ 乗します。

$8 x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.4

積の法則を $- 3 y$ に当てはめます。

$8 x^{3} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 \cdot {(- 3)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.7

$8$ に $1$ をかけます。

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.9

$8$ に $1$ をかけます。

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.10

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.11

$2$ を $2$ 乗します。

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.12

$4$ に $3$ をかけます。

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.13

簡約します。

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 3 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{3} + 12 \cdot - 3 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.15

$12$ に $- 3$ をかけます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.16

簡約します。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.17

$2$ に $3$ をかけます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.18

積の法則を $- 3 y$ に当てはめます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.19

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.20

$- 3$ を $2$ 乗します。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.21

$6$ に $9$ をかけます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.22

${(2 x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.23

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.24

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.25

$x^{0}$ に $1$ をかけます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.26

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.27

${(- 3 y)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3 y)}^{3}$

ステップ 4.28

積の法則を $- 3 y$ に当てはめます。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3)}^{3} y^{3}$

ステップ 4.29

$- 3$ を $3$ 乗します。

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$

微分積分学準備 例

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