微分積分学準備例

${(2 x + 1)}^{4}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(2 x + 1)}^{4}$ に対して $n = 4$ なので、展開の係数は線 $5$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ です。

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

ステップ 3

$a$ $2 x$ と $b$ $1$ の実価を式に代入します。

$1 {(2 x)}^{4} {(1)}^{0} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

指数を足して $1$ に ${(1)}^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${(1)}^{0}$ を移動させます。

${(1)}^{0} \cdot 1 {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.1.2

${(1)}^{0}$ に $1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$1$ を $1$ 乗します。

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1^{0 + 1} {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1^{1} {(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.2

$1^{1} {(2 x)}^{4}$ を簡約します。

${(2 x)}^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.3

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$2^{4} x^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.4

$2$ を $4$ 乗します。

$16 x^{4} + 4 {(2 x)}^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.5

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$16 x^{4} + 4 (2^{3} x^{3}) {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.6

$2$ を $3$ 乗します。

$16 x^{4} + 4 (8 x^{3}) {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.7

$8$ に $4$ をかけます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} {(1)}^{1} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.8

指数を求めます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot 1 + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.9

$32$ に $1$ をかけます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 {(2 x)}^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.10

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 (2^{2} x^{2}) {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.11

$2$ を $2$ 乗します。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 (4 x^{2}) {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.12

$4$ に $6$ をかけます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} {(1)}^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.13

1のすべての数の累乗は1です。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} \cdot 1 + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.14

$24$ に $1$ をかけます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{1} {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.15

簡約します。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 4 (2 x) {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.16

$2$ に $4$ をかけます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x {(1)}^{3} + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.17

1のすべての数の累乗は1です。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.18

$8$ に $1$ をかけます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 {(2 x)}^{0} {(1)}^{4}$

ステップ 4.19

指数を足して $1$ に ${(1)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.1

${(1)}^{4}$ を移動させます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + {(1)}^{4} \cdot 1 {(2 x)}^{0}$

ステップ 4.19.2

${(1)}^{4}$ に $1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.2.1

$1$ を $1$ 乗します。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} {(2 x)}^{0}$

ステップ 4.19.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{4 + 1} {(2 x)}^{0}$

ステップ 4.19.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{5} {(2 x)}^{0}$

ステップ 4.20

$1^{5} {(2 x)}^{0}$ を簡約します。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{5}$

ステップ 4.21

1のすべての数の累乗は1です。

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1$

微分積分学準備 例

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