微分積分学準備例

$y^{2} = \frac{1}{2} x$

ステップ 1

方程式を $\frac{1}{2} x = y^{2}$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} x = y^{2}$

ステップ 2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x) = 2 y^{2}$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$2 (\frac{1}{2} x)$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

ステップ 3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

ステップ 3.1.2.2

式を書き換えます。

$x = 2 y^{2}$

ステップ 4

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 4.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$2 y^{2}$ の平方完成。

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ステップ 4.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 4.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

ステップ 4.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{2}$

ステップ 4.1.1.3.2.2

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.3.2.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2}$

ステップ 4.1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{1}$

ステップ 4.1.1.3.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$d = 0$

ステップ 4.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.1.1.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{0}{8}$

ステップ 4.1.1.4.2.1.3

$0$ を $8$ で割ります。

$e = 0 - 0$

ステップ 4.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 + 0$

ステップ 4.1.1.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e = 0$

ステップ 4.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 y^{2}$ に代入します。

$2 y^{2}$

ステップ 4.1.2

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = 2 y^{2}$

ステップ 4.2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

ステップ 4.3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 4.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.5.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 4.6

焦点を求めます。

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ステップ 4.6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 4.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{1}{8}, 0)$

ステップ 4.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 0$

ステップ 4.8

準線を求めます。

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ステップ 4.8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 4.8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{1}{8}$

ステップ 4.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{8}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{1}{8}$

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{8}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{1}{8}$

ステップ 5

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 5.1

$x$ 値の $1$ を $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(1, 0.70710678)$ です。

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ステップ 5.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

ステップ 5.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.1.2.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.1.3

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ を10進数に変換します。

$= 0.70710678$

ステップ 5.2

$x$ 値の $1$ を $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(1, - 0.70710678)$ です。

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ステップ 5.2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = - \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

ステップ 5.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.2.2

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.3

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ を10進数に変換します。

$= - 0.70710678$

ステップ 5.3

$x$ 値の $2$ を $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(2, 1)$ です。

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ステップ 5.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

ステップ 5.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{\sqrt{4}}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (2) = \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (2) = \frac{2}{2}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ を $2$ で割ります。

$f (2) = 1$

ステップ 5.3.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 5.3.3

$1$ を10進数に変換します。

$= 1$

ステップ 5.4

$x$ 値の $2$ を $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ に代入します。この場合、点は $(2, - 1)$ です。

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ステップ 5.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = - \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

ステップ 5.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = - \frac{\sqrt{4}}{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (2) = - \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

ステップ 5.4.2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (2) = - \frac{2}{2}$

ステップ 5.4.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f (2) = - \frac{2}{2}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$f (2) = - 1 \cdot 1$

ステップ 5.4.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (2) = - 1$

ステップ 5.4.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 5.4.3

$- 1$ を10進数に変換します。

$= - 1$

ステップ 5.5

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

ステップ 6

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{8}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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