微分積分学準備例

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y - 44 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $44$ を足します。

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$

ステップ 1.2

$25 x^{2} - 100 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 100$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 100$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 25$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 50}{25}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 50$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$25$ を $- 50$ で因数分解します。

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$25$ を $25$ で因数分解します。

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 100$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $25$ をかけます。

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$10000$ を $100$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 100$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $100$ をかけます。

$e = 0 - 100$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $100$ を引きます。

$e = - 100$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ に代入します。

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

ステップ 1.3

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$ を方程式 $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ の中の $25 x^{2} - 100 x$ に代入します。

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 54 y = 44$

ステップ 1.4

両辺に $100$ を加えて、 $- 100$ を方程式の右辺に移動させます。

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = 44 + 100$

ステップ 1.5

$9 y^{2} + 54 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$54$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $54$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{27}{9}$

ステップ 1.5.3.2.2

$27$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

$54$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$2916$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 81$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $81$ をかけます。

$e = 0 - 81$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $81$ を引きます。

$e = - 81$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ に代入します。

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

ステップ 1.6

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ を方程式 $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ の中の $9 y^{2} + 54 y$ に代入します。

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = 44 + 100$

ステップ 1.7

両辺に $81$ を加えて、 $- 81$ を方程式の右辺に移動させます。

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 44 + 100 + 81$

ステップ 1.8

$44 + 100 + 81$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$44$ と $100$ をたし算します。

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 144 + 81$

ステップ 1.8.2

$144$ と $81$ をたし算します。

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

ステップ 1.9

各項を $225$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(2, - 3)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{25 - 9}$

ステップ 5.3.4

$25$ から $9$ を引きます。

$\sqrt{16}$

ステップ 5.3.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{4^{2}}$

ステップ 5.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 3 + 5)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(2, 2)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 3 - (5))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(2, - 8)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 3 + 4)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(2, 1)$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(2, - 3 - (4))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(2, - 7)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

ステップ 8.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

ステップ 8.3.4

$25$ から $9$ を引きます。

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

ステップ 8.3.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

ステップ 8.3.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4}{5}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

偏心： $\frac{4}{5}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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