微分積分学準備例

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x^{3} - x}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{3} - x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x \cdot x^{2} - x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x^{2} - 1)}$

ステップ 1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x^{2} - 1^{2})}$

ステップ 1.1.3

因数分解。

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ステップ 1.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x ((x + 1) (x - 1))}$

ステップ 1.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{3 x^{2} - 7 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x + 1) (x - 1)$ です。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.6

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.7

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x^{2} - 7 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.7.2

$3 x^{2} - 7 x - 2$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.1.2

$A ((x + 1) (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.2.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.2.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.2.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.4

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.5

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.6

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.7

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.7.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.7.2

$(B) (x (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.8

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.9

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.10

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.11

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.12

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.14

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.14.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.8.14.2

$(C) (x (x + 1))$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

ステップ 1.8.15

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

ステップ 1.8.16

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

ステップ 1.8.17

$x$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

ステップ 1.8.18

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

ステップ 1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$B$ を移動させます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

ステップ 1.9.2

$- A$ を移動させます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

ステップ 1.9.3

$- x B$ を移動させます。

$3 x^{2} - 7 x - 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = A + B + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 2 = - 1 A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2 = - 1 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $- 1 A = - 2$ として書き換えます。

$- 1 A = - 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.1.2

$- 1 A = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 1 A = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.1.2.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

$A = 2$

$3 = A + B + C$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3 = A + B + C$ の $A$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$3 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$3 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.3

$3 = 2 + B + C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $2 + B + C = 3$ として書き換えます。

$2 + B + C = 3$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$B + C = 3 - 2$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$B = 3 - 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.3.2.3

$3$ から $2$ を引きます。

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 B + C$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $1 - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 7 = - 1 B + C$ の $B$ のすべての発生を $1 - C$ で置き換えます。

$- 7 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 1 (1 - C) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 7 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 7 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.4.2.1.1.3

$- 1 (- C)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 7 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.4.2.1.1.3.2

$C$ に $1$ をかけます。

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.4.2.1.2

$C$ と $C$ をたし算します。

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5

$- 7 = - 1 + 2 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $- 1 + 2 C = - 7$ として書き換えます。

$- 1 + 2 C = - 7$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 C = - 7 + 1$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5.2.2

$- 7$ と $1$ をたし算します。

$2 C = - 6$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$2 C = - 6$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5.3

$2 C = - 6$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$2 C = - 6$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 6}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

$- 6$ を $2$ で割ります。

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

$C = - 3$

$B = 1 - C$

$A = 2$

ステップ 3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

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ステップ 3.6.1

$B = 1 - C$ の $C$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

$B = 1 - (- 3)$

$C = - 3$

$A = 2$

ステップ 3.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$1 - (- 3)$ を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$B = 1 + 3$

$C = - 3$

$A = 2$

ステップ 3.6.2.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 2$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$B = 4, C = - 3, A = 2$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{x} + \frac{4}{x + 1} + \frac{- 3}{x - 1}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例