微分積分学準備例

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (9 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

ステップ 2.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

ステップ 2.1.3.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

ステップ 2.1.3.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

ステップ 2.1.3.1.4

$- 2$ に $9$ をかけます。

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

ステップ 2.1.3.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

ステップ 2.1.3.2

$9 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式を $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ として書き換えます。

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

ステップ 2.3.3

$- 18$ から $10$ を引きます。

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

ステップ 2.3.4

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 1$ を $11 x - x^{2} - 28$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$11 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

ステップ 2.3.4.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

ステップ 2.3.4.1.3

$- 1$ を $11 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

ステップ 2.3.4.1.4

$- 28$ を $- 1 (28)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 11 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

ステップ 2.3.4.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

ステップ 2.3.4.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 11 x + 28$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $28$ で、その和が $- 11$ です。

$- 7, - 4$

ステップ 2.3.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.3.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

ステップ 2.3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.6

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.3.6.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.3.7

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.7.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.3.8

最終解は $- (x - 7) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, 4$

ステップ 3

$\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\log (11 x - x^{2} - 18)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1$ を $11 x - x^{2} - 18$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$11 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 1$ を $11 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

ステップ 3.2.2.1.4

$- 18$ を $- 1 (18)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

ステップ 3.2.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 11 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

ステップ 3.2.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

ステップ 3.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 11 x + 18$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $18$ で、その和が $- 11$ です。

$- 9, - 2$

ステップ 3.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

ステップ 3.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2.4

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 3.2.4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 3.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.2.6

最終解は $- (x - 9) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, 2$

ステップ 3.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 3.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

区間 $x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1.1

区間 $x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

ステップ 3.2.8.1.3

左辺 $- 18$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.2.8.2

区間 $2 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

区間 $2 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 3.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

ステップ 3.2.8.2.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.2.8.3

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.3.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 3.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

ステップ 3.2.8.3.3

左辺 $- 30$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 2$ 偽

$2 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < 2$ 偽

$2 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 3.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$2 < x < 9$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(2, 9)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

区間 $x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.2

区間 $2 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

区間 $2 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

ステップ 5.2.3

左辺 $0.77815125$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3

区間 $4 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $4 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

ステップ 5.3.3

左辺 $1.07918124$ は右辺 $1$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.4

区間 $7 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $7 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

ステップ 5.4.3

左辺 $0.77815125$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.5

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 5.5.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

ステップ 5.5.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.5.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 2$ 偽

$2 < x < 4$ 真

$4 < x < 7$ 偽

$7 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < 2$ 偽

$2 < x < 4$ 真

$4 < x < 7$ 偽

$7 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$2 < x < 4$ または $7 < x < 9$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

区間記号：

$(2, 4) \cup (7, 9)$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例