微分積分学準備例

$9^{x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

ステップ 1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

${(3^{2})}^{x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

ステップ 2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3^{2 x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

ステップ 3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{2 x^{2} + 7 x} = 81$

ステップ 4

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{2 x^{2} + 7 x} = 3^{4}$

ステップ 5

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$2 x^{2} + 7 x = 4$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$

ステップ 6.2

群による因数分解。

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ステップ 6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.2.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 7 (x) - 4 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$7$ を $- 1$ プラス $8$ に書き換える

$2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4 = 0$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4 = 0$

ステップ 6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4 = 0$

ステップ 6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1) = 0$

ステップ 6.2.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 6.4

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 6.4.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 6.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6.6

最終解は $(2 x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 4$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{2}, - 4$

10進法形式：

$x = 0.5, - 4$

微分積分学準備 例

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