微分積分学準備例

$2 \cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

ステップ 1

$2 \cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$2 \cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.1.2

$\cos (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

ステップ 4

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 5.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{6}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

ステップ 7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{6})$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 (2 π - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 7.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.2.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 7.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

ステップ 7.2.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.2.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{3}$

ステップ 7.2.2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.3.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - π}{3}$

ステップ 7.2.2.1.3.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{11 π}{3}$

ステップ 8

$\cos (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 9

$\cos (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{11 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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