微分積分学準備例

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

ステップ 1

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\csc^{2} (x)$ を $\cot^{2} (x) + 1$ で置き換えます。

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

ステップ 2

$u$ を $\cot (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

ステップ 3

方程式の両辺から $6 u$ を引きます。

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

ステップ 4

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

ステップ 5

$1$ から $8$ を引きます。

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $u^{2} - 6 u - 7$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $- 6$ です。

$- 7, 1$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 7) (u + 1) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 8

$u - 7$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.1

$u - 7$ が $0$ に等しいとします。

$u - 7 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$u = 7$

ステップ 9

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 9.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 10

最終解は $(u - 7) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 7, - 1$

ステップ 11

$\cot (x)$ を $u$ に代入します。

$\cot (x) = 7, - 1$

ステップ 12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

ステップ 13

$\cot (x) = 7$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (7)$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$arccot (7)$ の値を求めます。

$x = 0.14189705$

ステップ 13.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

ステップ 13.4

$x$ について解きます。

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ステップ 13.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

ステップ 13.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

ステップ 13.4.3

$3.14159265$ と $0.14189705$ をたし算します。

$x = 3.2834897$

ステップ 13.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 13.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 13.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

$\cot (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- 1)$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$arccot (- 1)$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

ステップ 14.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 14.4.1

$2 π$ に $\frac{3 π}{4} - π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

ステップ 14.4.2

$\frac{7 π}{4}$ の結果の角度は正で $\frac{3 π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 14.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 14.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 14.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

すべての解をまとめます。

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

解をまとめます。

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ステップ 16.1

$3.2834897 + π n$ と $0.14189705 + π n$ を $0.14189705 + π n$ にまとめます。

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16.2

$\frac{7 π}{4} + π n$ と $\frac{3 π}{4} + π n$ を $\frac{3 π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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