微分積分学準備例

$(\tan^{2} (x) - 9) (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 1

$(\tan^{2} (x) - 9) (2 \cos (x) + 1)$ を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 9) (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 1.1.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 9) (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 9) (2 \cos (x) + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x) + 1) - 9 (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3

項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$2$ と $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.3.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 9 (2 \cos (x)) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.5

$2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 18 \cos (x) - 9 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.3.1.6

$- 9$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 18 \cos (x) - 9 = 0$

ステップ 1.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 18 \cos (x) - 9 = 0$

ステップ 1.3.2.2

分数を分解します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 18 \cos (x) - 9 = 0$

ステップ 1.3.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 18 \cos (x) - 9 = 0$

ステップ 1.3.2.4

$2 (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 18 \cos (x) - 9 = 0$

ステップ 1.3.2.5

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) - 18 \cos (x) - 9 = 0$

ステップ 2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 1.24904577 + 2 π n, 1.89254688 + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 4.39063842 + 2 π n, 5.03413953 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例