微分積分学準備例

$(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

$- 1 \tan (x)$ を $- \tan (x)$ に書き換えます。

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.3

$- 1 \sec (x)$ を $- \sec (x)$ に書き換えます。

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

ステップ 2

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - (\sec (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2

最大公約数 $\sec (x) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 4

$\sec (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sec (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (x) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sec (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sec (x) = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$arcsec (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.4

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 4.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 4.2.6

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\tan (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\tan (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\tan (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 5.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 5.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

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ステップ 7.1

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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